數學啟蒙，關鍵要從這4個維度培養孩子的”數感” | 來自斯坦福教授的建議

前兩天國內的表姐在我們家的親戚群裡發了張女兒數學作業的照片， 19+23， 她算成了82， 表姐檢查作業時說這道錯了， 女兒一臉茫然， “是不是哦， 我再驗算一下”。 表姐有點不解， 這不明擺著的嗎？19加23， 十位的1和2加起來5都不到， 怎麼會是80多呢？說是要重新算， 但這個結果是對是錯應該一眼就能看出來啊。 想想女兒平時做運算練習也不少， 但好像對數位的感覺還是不到位， 這讓表姐很鬱悶。

恰好最近我讀了不少有關孩子數學啟蒙的書籍， 我很肯定的告訴表姐， 這是因為我侄女的“數感”沒有培養起來， 她可能掌握了運算規則，

但對數位大小， 數量多少缺乏感覺， 所以不能對運算結果有個大概估算。

那究竟什麼是“數感”呢？

數感在英文裡叫number sense, 就是對數位的感覺， 指的是一個人對數位的理解和運用能力， 包括能否靈活處理數位、拆解問題， 並從不同的角度看問題。 比如桌子上有一個空盒， 還有一堆糖， 有些人看到會有意識地對兩者進行比較， 考慮如果把這堆糖裝在盒子裡能不能裝下， 能不能裝滿， 這就是數感在起作用；再比如在計算18*5時， 數感好的人並不是在腦海裡用豎式計算， 而是能迅速把它換成更利於自己計算的20*5 – 2*5， 或者9*10， 再或者9*5 + 9*5等方式， 並能在腦海裡對應出它的實際意義， 就像下圖的幾個矩形圖示一樣：

我們再來聽聽一位大牛怎麼說數感的：

Jo Boaler是斯坦福大學數學教育學教授， 出版過好幾本關於數學教育的書， 其中《教室裡的大象》被許多數學老師奉為經典， 她開創和領導的數學教育網站Youcubed， 為全世界教師和父母提供了很多數學啟蒙資源。

回憶起自己的成長經歷， Jo Boaler說在她小時候， 學校沒有要求孩子們記憶多少以內的加減法得數， 甚至也不要求乘法口訣， 但這一點兒都沒有妨礙她後來在數學上的發展， 還成為大學數學教授， 她說， “看到8+4， 我能一口給出答案， 那是因為我有很好的數感。 而這種感覺是通過在各種情況下使用、理解數位而得到的， 而不是通過強化練習和考試才記住的。 ”

Jo Boaler的研究團隊發現， 但凡後來在數學上表現優異的孩子， 他們小時候的數感都培養得很好，

而相反從小就訓練死記硬背答案或者運算規律的孩子， 對數學學習會越來越吃力， 基本上就是低年級數感不啟蒙， 高年級數學看造化的節奏。

數感如此重要， 該怎樣培養呢？

不僅Jo Boaler教授團隊持這樣的觀點， 數感培養在整個西方的低幼教育中都很重視， 比如大家熟悉的“蒙氏教育”， 就是以其出色的數感培養而著名。 每個教育派系、每個學校、甚至每位元老師、家長， 都會在有意無意中用到很多培養孩子數感的方法， 總結起來最重要的主要是這4個維度：

理解“數”——

維度1：用具體的實物認識數位（Real things）

維度2：用圖形、圖畫理解數位（Picture）

運用“數”——

維度3：用故事說數字（Story）

維度4：用符號/運算式讓數位動起來（Symbols）

這4個維度的培養，

是根據孩子的年齡增長循序漸進的。 最早從0歲就可以開始， 大多數孩子在0到3歲這個階段， 很大程度依賴觸覺來認識這個世界， 必須要摸到實物， 能感覺它的大小， 重量。 這時就可以用具體的實物讓孩子來認識數， 積木、小球、數字餅乾、手指腳趾......都可以。 比如在蒙氏幼稚園的教室裡就有很多為培養數感而設計的教具， 像下面這些串珠， 有多的也有少的， 孩子拿在手上能摸到它們的長度不同， 也能感覺到輕重的差異。

對於一些理解力比較強的孩子， 到了3歲左右甚至可以教他把實物和數字對應起來。 當然， 用遊戲的方式就更好了， 擲篩子， 擲到多少點， 就在對應的數字上搭多少塊積木。

而到了3-6歲， 視覺在孩子認識世界的過程中占了上風，

這時就可以用圖形、圖畫來説明孩子理解數位了， 比如用小圓點， 用篩子圖， 手指圖， 方塊圖等等。 如果孩子能理解， 還可以和時鐘的認識結合在一起。 到了5歲之後， 甚至可以開始簡單的數位拆解， 同時可以伴隨著用故事表達數位， 把數位和生活結合在一起， 6的含義可以是媽媽買了6個蘋果， 孩子有6條裙子， 魚缸裡有六條魚……等等。

在這些都理解了之後， 就可以再上一個臺階， 用符號/運算式讓數位動起來， 就是我們經常看到的數學算式， 比如“3+3=6”。 雖然它看起來全是符號， 很抽象， 但它卻是我們用來交流的數學語言， 是必須要學會的。 而孩子需要練習的是， 怎麼把它和其他的感觀聯繫在一起， 這就引出我今天最想給大家分享的一個工具——

用一個“思考版“，搞定數感的4個維度

Think board (思考板) 是美國課堂常用的培養孩子數感的工具。它把一個矩形分成四個部分，分別對應我們上面介紹的4個維度：實物、故事、圖形、符號。老師會讓孩子用思考板來理解數位、運用數位。

來看看具體的應用，下面是用思考板來分析“16”這個數字，其中的story（故事）這部分就是為這個數位編一個應用題，這位孩子是這麼編的，“寵物店裡有27條魚，這時來了11位小朋友，帶走了11條，問寵物店裡還剩幾條？答案是16。”

這個編故事的能力非常重要，Jo Boaler教授強調，老師給學生出數學題要具有開放性，給學生思考的空間，“在我眼中，那些形成固化思維的封閉性問題就是只要求正確答案的題目。長此以往，孩子就會覺得上數學課是一種表演，就是答對問題。而我們真正想要的是那些能讓孩子學到東西的題目。” 比如27-11=？是個封閉性問題，但用什麼樣的故事能表達16，就是個開放性的問題了，它的答案可以是無窮多種。

這是用思考板來表示乘法運算式，其中的符號部分改成“Show Strategies Used“（用了什麼運算策略），就是鼓勵孩子從不同的角度去拆解數字。

即使學到了分數，思考板還是大有用場哦。

思考板所包含的幾個維度並不新鮮，但它的好處是，提醒孩子從這幾個方面去考慮數字以及運算式，它是個整體，不會拉下哪個；同時也能清楚地看到它們之間的聯繫，這就對應著數感培養最重要的目的——“能靈活處理數位、拆解問題，並從不同的角度看問題”。

挺好用的一個工具，特別推薦給家有正在數學啟蒙的孩子們。數學要學很多年，它的應用更是伴隨著我們一生，一開始走慢些，穩些，理解深刻些，找到感覺，很重要。

學數學要有感覺，首先對數字就要有感覺！

用一個“思考版“，搞定數感的4個維度

Think board (思考板) 是美國課堂常用的培養孩子數感的工具。它把一個矩形分成四個部分，分別對應我們上面介紹的4個維度：實物、故事、圖形、符號。老師會讓孩子用思考板來理解數位、運用數位。

來看看具體的應用，下面是用思考板來分析“16”這個數字，其中的story（故事）這部分就是為這個數位編一個應用題，這位孩子是這麼編的，“寵物店裡有27條魚，這時來了11位小朋友，帶走了11條，問寵物店裡還剩幾條？答案是16。”

這個編故事的能力非常重要，Jo Boaler教授強調，老師給學生出數學題要具有開放性，給學生思考的空間，“在我眼中，那些形成固化思維的封閉性問題就是只要求正確答案的題目。長此以往，孩子就會覺得上數學課是一種表演，就是答對問題。而我們真正想要的是那些能讓孩子學到東西的題目。” 比如27-11=？是個封閉性問題，但用什麼樣的故事能表達16，就是個開放性的問題了，它的答案可以是無窮多種。

這是用思考板來表示乘法運算式，其中的符號部分改成“Show Strategies Used“（用了什麼運算策略），就是鼓勵孩子從不同的角度去拆解數字。

即使學到了分數，思考板還是大有用場哦。

思考板所包含的幾個維度並不新鮮，但它的好處是，提醒孩子從這幾個方面去考慮數字以及運算式，它是個整體，不會拉下哪個；同時也能清楚地看到它們之間的聯繫，這就對應著數感培養最重要的目的——“能靈活處理數位、拆解問題，並從不同的角度看問題”。

挺好用的一個工具，特別推薦給家有正在數學啟蒙的孩子們。數學要學很多年，它的應用更是伴隨著我們一生，一開始走慢些，穩些，理解深刻些，找到感覺，很重要。

學數學要有感覺，首先對數字就要有感覺！